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微分の近似について
すこしマニアックな話題を。ある関数の微分をコンピュータ上で計算するための近似式として最も基本的なものは以下のものでしょう。差分（商）とか呼ばれるものですね。 \begin{align*} f’(x)\simeq\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \end{align*} もうすこし精度をよくしたい場合に次のような式もよく利用されます。...
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ハミルトン系の数値計算 (PRML11章)
PRML (→amazon；パターン認識と機械学習 下) の11章に出てくるハミルトン系の話。ここではハイブリッドモンテカルロのためにハミルトン系を導入して、リープフロッグスキームと呼ばれる数値積分(差分スキーム)を導入している。リープフロッグとかは昔ひと通り勉強したのだけど、久しぶりに見て懐かしかったので思い出しながら／遊びがてら計算してみた。 ハミルトン系 \(\boldsymbol p\)...
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重点サンプリング
重点サンプリング (Importance Sampling) について。\(p(x)\) を密度関数として、物理量 \(f(x)\) の平均値 \begin{align} I=\int f(x)p(x)dx \end{align} を近似する問題。 モンテカルロ積分 ふつうのモンテカルロ法では \(p(x)\) からN個サンプリングしてきて \begin{align}...
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重点サンプリング (2)
前回は正規分布の裾の積分をなんとなく決めた提案分布による重点サンプリングで求めた。今回は提案分布の違いがどのような誤差の違いを生むのかについて実験した。ただし、今回の積分範囲は [4,∞) とした。ようするに \(f\) を標準正規分布のpdfとして \begin{align} \int_4^\infty f(x)dx \end{align} を求める問題。 考える提案分布たち...
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